En el contexto del Reino Unido, ¿es común decir que “espero que estés bien” como saludo al comienzo de un correo electrónico?

Sí, es muy común. Es una versión un poco más moderna de “Espero que te encuentre bien”, que fue una de las fórmulas victorianas estándar para comenzar una carta entre conocidos que no habían hablado durante un tiempo.

Los estadounidenses tienden a decir “¿Cómo estás?” cuando no les importa la respuesta, que incluso después de 10 años aquí todavía me parece grosero. ¿Por qué hacer una pregunta si no quieres una respuesta? Y si alguien se toma la molestia de responder, ¿por qué ignorarlos?

Es muy común: una declaración de cortesía o de apertura estándar.

Es quizás un poco más formal que “¿Cómo estás?”

Lo uso todo el tiempo (aunque más a menudo para mí es “Confío en que estés bien”).

Está en la línea de “cómo estás” o “cómo están las cosas”, supongo.

Es cuando no te pido que quieras preocuparte.

Siempre uso ‘Espero que estés bien’. ‘¿Cómo estás?’ Parece exigir o esperar una respuesta, y generalmente no estoy tan interesado.