En el libro Social Intelligence de Daniel Goleman, él dice que la relación solo existe entre las personas, pero cuando mi gato me sonríe y yo le devuelvo la sonrisa, ella sonríe más y ronronea, ¿no es eso también una buena relación?

Sí, lo es y dudo que sea tan fugaz como crees.
He vivido con animales toda mi vida, cualquiera que no piense que tienen sus propias personalidades no está prestando atención en absoluto. Exhiben amor, lealtad, felicidad, tristeza. Ellos lloran, nutren, protegen. Tienen miedo, rabia, resentimiento, prejuicios y favoritos.
Entonces, en mi opinión, el Sr. Goleman se perdió la marca con esa declaración.

Las mascotas son, hasta cierto punto, capaces de leer las emociones humanas, especialmente los perros. Eso les permite reaccionar ante estas emociones. La elección de reaccionar implica una relación, aunque la profundidad intelectual de la relación es limitada.

Tengo un loro, y si él tiene personalidad es la personalidad del mal nazi, en forma de pájaro. Entonces, sí, otros animales (los humanos también son animales) pueden tener sus personalidades. No siempre buenos, y probablemente no tan complejos como los humanos. Lo conecto mucho con la inteligencia.