Dado que todavía no estoy pagando por mi propio cuidado de salud, ¿la persona que paga todavía tiene permiso para hacer citas para mí, llamar acerca de mis recetas, etc., aunque tengo la edad suficiente (y preferiría) hacerlo yo mismo?

Aquí hay un experimento mental: en lugar de tus padres, tu empleador paga el seguro. No existe ninguna situación en la que el pagador del seguro tenga derecho a la información, decisiones médicas, etc. Existen reglas de privacidad muy estrictas que dictan cómo un médico trata a un paciente adulto. No se le permite a él / ella discutir problemas médicos con nadie sin su permiso o aceptar cualquier sugerencia de un tercero con respecto a su atención.
Trate de hablar con sus padres y explique que la relación entre médico y paciente puede quedar desfasada por su “interferencia”.

Sip. Porque estás cubierto bajo su plan.

Si quiere hacer las cosas que mencionó usted mismo, puede discutir esto con – supongo, sus padres.

Aparte de eso, no hay forma de evitar que realicen legalmente consultas y decisiones relacionadas con el cuidado de la salud en su nombre, aparte de obtener su propio seguro de salud.